Pehr Sällström

Goethe och matematiken

Jag vördar matematiken som den mest upphöjda och nyttiga av vetenskaper, så länge man använder den där den är på sin plats. Men jag kan inte tåla att man missbrukar den på saker som ligger helt utanför dess område, och där den ädla vetenskapen framstår som rent nonsens. Som om allt endast existerade ifall det läte sig matematiskt bevisa!
För att begripa färglärans fenomen krävs ingenting annat än en ren åskådning och ett sunt huvud men bägge sakerna är onekligen sällsyntare än man skulle tro.

Goethe till Eckerman 20/12 1826

Att Goethe ansåg färgläran bäst betjänt av att slippa inblandning från matematikernas sida är ingen hemlighet. Han tröttnade inte på att framhålla att det finns områden inom naturforskningen som är oavhängiga av matematik - det var i de regionerna han själv helst uppehöll sig och ansåg sig kunna bidra till forskningen. Misstanken ligger förstås nära till hands, att det helt enkelt var okunnighet som var orsaken till den avvisande hållningen. Det vi inte vet något om har vi ju gärna en överdriven beundran eller överdriven rädsla för. Men fullt så lättvindigt avfärdar man inte gamle Goethe. Till saken hör nämligen att hans bibliotek innehåller ett trettiotal matematiska verk och att han stod i personlig kontakt med en rad framstående matematiker. Han hade goda möjligheter att samtalsvis skaffa sig inblick i den aktuella diskussionen, som på den tiden bland annat rörde det s.k. parallellaxiomet i geometrin och så småningom skulle leda fram till iden om "det krökta rummet", som figurerar i Einsteins allmänna relativitetsteori och i modern kosmologi. Man skall alltså inte tro att Goethe grundade sin uppfattning enbart på elementär skolmatematik, han hade också mött matematiken på den nivå där den framstår som ett kreativt utforskande av tänkandets och den inre åskådningens möjligheter. Dessutom hade den omfattande genomgången av material till färglärans historia gett honom en bild av matematikens roll i ett idéhistoriskt perspektiv.

Nej, Goethes kritiska kommentarer berodde inte på bristande insikt eller på antipati. Det var inte en tom artighetsfras, när han prisade matematiken som "nyttigast bland vetenskaper". Tvärtom såg han tydligare än de flesta hur matematiken är på både gott och ont i naturforskningen. Låt mig utveckla den tanken.

Naturfenomenens förbindelse med matematiska begrepp har alltid upplevts som något gåtfullt. Tänk på de geometriska mönster som uppträder på ett vitt underlag, när man experimenterar med en liten koncentrerad, "punktformig", ljuskälla tillsammans med diverse föremål av olika form och material - genomskinliga, ogenomskinliga, speglande. Ett fängslande skådespel, som tilltalar tanken lika starkt som det tilltalar ögat!

Att naturen i vissa av sina fenomen osökt erbjuder sig till matematisk tolkning är ett obestridligt faktum. Man kan förstå att det sedan gammalt funnits de som hävdat att det matematiska elementet är det essentiella i naturfenomenen och att fysikerns uppgift är att se på världen på sådant sätt att de bakomliggande matematiska lagbundenheterna blir uppenbara.

Men är inte detta en absurd tanke? Inte kan väl allting beskrivas matematiskt?
Jag drar mig till minnes ett samtal jag en gång i min gröna ungdom hade med Anders Wedberg, dåvarande professorn i teoretisk filosofi i Stockholm, varvid jag som en självklarhet hävdade att det måste finnas saker som på grund av sin karaktär inte går att beskriva matematiskt. Till min förvåning - och kanske i första stund också förtrytelse - genmälde han på sitt stillsamma men bitande sätt: "Kanhända är det så, men jag inser inte hur det logiskt skulle kunna finnas någon gräns för vad matematik kan behandla". Efteråt stod det klart för mig hur naiv jag varit. Matematiken, som så många andra resultat av människoandens produktiva strävan, är inte något en gång för alla givet, något färdigt och avgränsat, om vilket man kan säga att det är så och så. Den har inom sig kraften att utveckla ständigt nya former, som ger nya användningsmöjligheter. Nej, frågan kan aldrig gälla huruvida vissa företeelser kan eller inte kan beskrivas matematiskt, utan värdet av en sådan beskrivning. Det är ju också vad Goethe säger, i den replik jag valt som ingress: vissa tillämpningar är meningsfulla, andra nonsensartade.

Varje fysiker vet att det är en konst för sig att komma underfund med hur ett konkret problem skall formuleras matematiskt. Förmågan att använda matematik på "rätt" sätt är något man genom övning tillägnar sig under studietiden. Och den kräver sitt mått av begåvning och intuition. Bland annat gäller det att kunna skilja mellan vad som är väsentligt och vad som beror på tillfälligheter i ett givet fenomen eller en försökssituation.

Stundom grips man av en lätt svindel när man märker hur smal "den rätta vägen" är; hur även helt plausibla matematiska ansatser obevekligen leder till att man trasslar in sig allt mer och mer i komplicerade beräkningar utan ände, eller kommer fram till ett paradoxalt eller uppenbart orimligt resultat. Och detta inte beroende på att man räknat fel, utan på att man använt matematik på ett konstlat sätt.

Allt som oftast har det under historiens gång hänt att forskarna inte funnit någon väg att angripa och klargöra ett fysikaliskt problem och därför fått sätta det åt sidan. I vår tid förekommer många intressanta exempel på hur nya matematiska metoder gör det möjligt att vidareutveckla "gamla" frågeställningar. Därvid visar det sig att den klassiska fysiken - den som i sina olika kapitel, mekanik, optik, värmelära etc. beskriver naturföreteelserna på den storleksnivå som har mänskliga mått - på intet sätt kan anses som avslutad, utan innehåller frön till de mest oväntade resultat, som öppnar nya perspektiv.

Man har exempelvis funnit metoder att beskriva stabilitetsegenskaper hos system som inte befinner sig i jämvikt eller kan betraktas som isolerade från omvärlden, utan tvärtom existerar just tack vare ett ständigt flöde av energi och materia. Så kallad "katastrof-teori", som fått detta dramatiska namn av sin upphovsman, den franske matematikern Rene Thom, har funnit allsköns tillämpningar när det gäller att beskriva de diskontinuiteter som leder till dramatiska kvalitativa språngvisa förändringar. Goethe skulle måhända funnit nöje i "katastrofoptiken'', som bl.a. tar sig an de ljusfigurer som uppstår när solljuset koncentreras vid spegling inuti en tekopp eller glittrar i vågorna på havet. Vidare har utvecklats metoder att beskriva "globala" egenskaper hos system, dvs. sådana som endast kan tillskrivas helheten men inte någon enskild del av den. Nobelpristagaren Ilya Prigogine beskriver entusiastiskt i sina böcker hur den naturvetenskapliga världsbilden i vår tid radikalt förändras - inte så mycket tillföljd av upptäckter inom kvantfysik eller atomteori, som tillföljd av denna genomgripande revision och förnyelse av den klassiska fysiken. Han påpekar att de unika händelseförloppen, evolutionens skapande flöde, själva tidsbegreppet, på ett sätt som aldrig tillförne kommer in i bilden. Föreställningen om universum som ett enda stort urverk, där skeendet skulle vara åtminstone i princip förutsägbart, upprepbart och omvändbart, upplöser sig och tonar bort...

Med dessa antydningar om förhållanden som det skulle föra för långt att gå närmare in på har jag velat ge läsaren en glimt av vilken mångskiftande och fruktbringande roll matematiken spelar i fysikens utveckling. Den är ett omistligt instrument för forskaren. Samtidigt hoppas jag det framgått att matematiken inte "automatiskt" framskapar ny fysik - förutsättningen är att de matematiska begreppen får spela ut mot något annat, nämligen mot de värderingar, betraktelsesätt och insikter som fysikerna förvaltar och som gör fysiken till just fysik. Såsom erfarenhetsvetenskap måste fysiken ha ett välgrundat förhållande till sinnevärlden. Det är just denna informella sida av fysiken som Goethe ser som sin uppgift att medvetandegöra.

När Goethe uttalar sin kritik är det i medvetande om vissa risker som matematiken för med sig. Som författare vet han hur svårt det är att "alltid hålla innehållet levande för sig och inte döda det med ordet". Därför säger han att fysikern måste "utbilda en metod som överensstämmer med det han iakttar. Han bör akta sig för att förvandla iakttagelsen till begrepp, begreppen till ord, och sedan umgås och förfara med dessa ord, som vore de föremål".

En matematisk kalkyl kan vara så intressant och komplicerad att man som forskare blir helt absorberad av den och tappar sitt forskningsobjekt ur sikte.
Likaledes kan en bländande elegant matematisk dräkt förläna ett falskt sken av vederhäftighet åt en löst grundad teori. - "En stor del av det som nuförtiden kallas vidskepelse, har uppstått ur ett falskt användande av matematik"; konstaterar Goethe provokativt, i en av sina idéhistoriska uppsatser, och han erinrar om "den urgamla sanningen, att matematikern, så snart han beträder erfarenhetens fält, löper samma risk att falla offer för villfarelse som alla andra".

Det bestickande i matematiken är framförallt att dess satser härrör ur en omedelbar insikt och därför framstår med ett slags oemotsäglig giltighet. Man får inte förtänka naturforskaren att han önskar att de "fundamentala naturlagar" han kommer fram till också skall ha samma karaktär av obestridligt vetande. Men hur får de det? Forskaren må låna matematikens språk och begrepp - dess giltighet kan han dock aldrig överta. Återigen hänvisas vi till det som gör fysiken till fysik; vad jag ovan kallade dess informella sida.

Det finns i varje projekt ett stadium då man ännu inte klart urskiljt och definierat sitt forskningsföremål, än mindre bildat sig någon uppfattning om vilka abstraktioner som vore tillbörliga. På det stadiet är matematiken inte till hjälp, eftersom ingenting säger hur eller på vad den skall appliceras.

Goethe framhåller att detta är ett känsligt och för fortsättningen avgörande stadium på forskningsvägen, som helst skulle ägnas en lika strängt disciplinerad metod som fortsättningen. - Vad är det som skapar visshet i matematiken, frågar han sig. Jo, det är "återhållsamheten, att bara låta det närmaste följa ur det närmaste". Det är de små och självklara stegen, kontinuiteten i resonemanget, som ger styrka åt en härledning eller ett bevis. På samma sätt gäller det för den som utforskar sinnevärlden att "ordna försöken och bringa dem i sådant förhållande till varandra att de framstår lika oomkullrunkeliga som matematiska satser... Man uppställer en serie av försök som gränsar till varandra och omedelbart berör varandra; till sist framställer de liksom bara ett enda försök, en enhetlig erfarenhet ur flerfaldiga synvinklar".

Det är just denna metod Goethe använder i sin färglära, när han presenterar de prismatiska färgfenomenen, liksom när han antyder hur dessa kan "härledas" ur de fenomen som uppträder i töckniga medier. Samma metod kännetecknar f.ö. hans metod att gripa sig an med andra områden: botanik, zoologi, geologi.

På detta sätt, menar Goethe, kan forskaren närma sig idealet, att "hämta måttstocken för sin kunskap från den krets av ting han undersöker".

På den punkt där matematiken inte kan göra tjänst som hjälpmedel kan den i stället tjäna oss som förebild. Denna spännande ide, som Goethe utvecklar i uppsatsen "Försöket som förmedlare mellan objekt och subjekt", vittnar om hur väl han förstod att bedöma och rätt uppskatta matematikens roll i naturforskningen.

(C) Pehr Sällström, 2019-05-16 Tryckt i Antropos 7:1983